已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.（I）求抛物线方程；（II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线P

题型：不详难度：来源：

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

答案

（1）（2）线段PM的中点在y轴上（3）

解析

（I）由题意可设抛物线的方程为,
∵过点的切线方程为,
……………………………………………………………2分

∴抛物线的方程为…………………………………………………3分
（II）直线PA的方程为,


同理,可得. …………………………………………………………5分
…………………………6分
又

∴线段PM的中点在y轴上.………………………………………………………7分
（III）由

………………………………………8分
∵∠PAB为钝角，且P, A, B不共线,

即

…………………………………………………………10分
又∵点A的纵坐标   ∴当时，；
当
∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为……………12分