(Ⅰ)由条件得M(0,-),F(0,).设直线AB的方程为 y=kx+,A(,),B(,) 则,,Q(). …………………………2分 由得. ∴由韦达定理得+=2pk,·=- …………………………3分 从而有= +=k(+)+p=2pk÷p. ∴·的取值范围是. …………………………4分 (Ⅱ)抛物线方程可化为,求导得. ∴ =y . ∴切线NA的方程为:y-即. 切线NB的方程为: …………………………6分 由解得∴N() 从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同. ∴NQ∥OF.即 …………………………7分 又由(Ⅰ)知+=2pk,·=-p ∴N(pk,-). …………………………8分 而M(0,-) ∴ 又. ∴. …………………………9分 (Ⅲ)由.又根据(Ⅰ)知 ∴4p=pk,而p>0,∴k=4,k=±2. …………………………10分 由于=(-pk,p), ∴ 从而. …………………………11分 又||=,||= ∴. 而的取值范围是[5,20]. ∴5≤5p2≤20,1≤p2≤4. …………………………13分 而p>0,∴1≤p≤2. 又p是不为1的正整数. ∴p=2. 故抛物线的方程:x2=4y. …………………………14分 |