已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线C截直线y=2x-1所得的弦长为210.求抛物线C的方程.

已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线C截直线y=2x-1所得的弦长为210.求抛物线C的方程.

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已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线C截直线y=2x-1所得的弦长为210.求抛物线C的方程.
答案
x2=-y或x2=2y.
解析
设C:x2=ay,直线与抛物线C交于点P(x1,y1),Q(x2,y2).
得x2=a(2x-1),即x2-2ax+a=0.
∴x1+x2=2a,x1x2=a.
而|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2,
∴5[(x1+x2)2-4x1x2]=40,即4a2-4a=8.
解得a=-1或a=2.故C:x2=-y或x2=2y.
举一反三
直线y=x+1被抛物线y2=-2x所截得的弦的中点的坐标为____________.
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抛物线y=x2上的两点A与B的横坐标恰好是关于x的方程x2+px+q=0(p、q∈R,p、q是常数)的两个实根,则直线AB的方程是_____________.
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抛物线y2=-8x中,以(-1,1)为中点的弦的方程是(    )
A.x-4y-3="0"B.x+4y+3=0
C.4x+6y-3="0"D.4x+y+3=0

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直线y=x+b与抛物线x2=2y交于A、B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,则b的值是(    )
A.2                                B.-2
C.1                                D.-1
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抛物线y2=8x被过焦点、倾斜角为135°的直线所截,则截得的线段中点坐标是________________.
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