已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线C截直线y=2x-1所得的弦长为210.求抛物线C的方程.

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答案

x²=-y或x²=2y.

解析

设C:x²=ay,直线与抛物线C交于点P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂).
由

得x²=a(2x-1),即x²-2ax+a=0.
∴x₁+x₂=2a,x₁x₂=a.
而|PQ|²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=5(x₁-x₂)²,
∴5［(x₁+x₂)²-4x₁x₂］=40,即4a²-4a=8.
解得a=-1或a=2.故C:x²=-y或x²=2y.

举一反三

直线y=x+1被抛物线y²=-2x所截得的弦的中点的坐标为____________.

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抛物线y=

x²上的两点A与B的横坐标恰好是关于x的方程x²+px+q=0(p、q∈R,p、q是常数)的两个实根,则直线AB的方程是_____________.

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抛物线y²=-8x中，以(-1，1)为中点的弦的方程是( )

A．x-4y-3="0"	B．x+4y+3=0
C．4x+6y-3="0"	D．4x+y+3=0

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直线y=x+b与抛物线x²=2y交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则b的值是(    )
A.2                                B.-2
C.1                                D.-1

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抛物线y²=8x被过焦点、倾斜角为135°的直线所截，则截得的线段中点坐标是________________.

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