抛物线y2=2px(p>0)上点M到定点A(3,2)和焦点F的距离之和的最小值为5,求此抛物线的方程.

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抛物线y²=2px(p>0)上点M到定点A(3,2)和焦点F的距离之和的最小值为5,求此抛物线的方程.

答案

抛物线方程为y²=8x.

解析

若A(3,2)在抛物线内,设l为准线,作AN⊥l于点N,交抛物线于点M,
则|MN|+|MA|=|MA|+|MF|=5.
∴(x_m+

)+(3-x_m)=5.
∴p=4.
若A(3,2)在抛物线外,连线AF交抛物线于点M,则|AM|+|MF|=|AF|=

=5.
∴p=6±2

.
又A(3,2)在抛物线外,
∴4>y²=6p.
∴0<p<

.
∴p=6±2

不合题意.
综上,p=4,所求抛物线方程为y²=8x.

举一反三

已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线C截直线y=2x-1所得的弦长为210.求抛物线C的方程.

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直线y=x+1被抛物线y²=-2x所截得的弦的中点的坐标为____________.

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抛物线y=

x²上的两点A与B的横坐标恰好是关于x的方程x²+px+q=0(p、q∈R,p、q是常数)的两个实根,则直线AB的方程是_____________.

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抛物线y²=-8x中，以(-1，1)为中点的弦的方程是( )

A．x-4y-3="0"	B．x+4y+3=0
C．4x+6y-3="0"	D．4x+y+3=0

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直线y=x+b与抛物线x²=2y交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则b的值是(    )
A.2                                B.-2
C.1                                D.-1

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