已知P(x1,y1)、Q(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,则y1·y2=-p2是直线PQ通过抛物线焦点的(    )A．充分不必要

题型：不详难度：来源：

已知P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)是抛物线y²=2px(p>0)上不同的两点,则y₁·y₂=-p²是直线PQ通过抛物线焦点的(    )

A．充分不必要条件	B．充要条件
C．必要不充分条件	D．既不充分又不必要条件

答案

B

解析

当x₁=x₂时,显然为充要条件.
当x₁≠x₂时,设直线PQ的斜率为k,
若过焦点,则直线AB的方程为y=k(x-),代入抛物线方程并化简得y²-y-p²=0.
∴y₁·y₂=-p².
若y₁·y₂=-p²,由于P、Q为抛物线上的点,故y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.
∴.
从而直线AB的方程为y-y₁=(x-x₁).
令y=0,得-y₁²+p²=2px-2px₁.
又y₁²=2px₁,∴x=,即直线AB过(,0)点.
综上分析知为充要条件.