由抛物线的光学性质及题意知 光线PQ必过抛物线的焦点F( ,0), 设直线PQ的方程为y=k(x- ) ① 由①式得x= y+ ,将其代入抛物线方程y2=2px中,整理,得y2- y-p2=0,由韦达定理,y1y2=-p2。 当直线PQ的斜率角为90°时,将x= 代入抛物线方程,得y=±p,同样得到y1·y2=-p2. (2)解:因为光线QN经直线l反射后又射向M点,所以直线MN与直线QN关于直线l对称,设点M( ,4)关于l的对称点为M′(x′,y′),则
解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025160236-72012.gif) 直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标y2=-1, 由题设P点的纵坐标y1=4,且由(1)知:y1·y2=-p2,则4·(-1)=-p2, 得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x。 (3)解: 将y=4代入y2=4x,得x=4,故P点坐标为(4,4) 将y=-1代入直线l的方程为2x-4y-17=0,得x= , 故N点坐标为( ,-1) 由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y-12=0, 设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025160236-47062.gif) 又M1( ,-1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解,故抛物线上存在一点( ,-1)与点M关于直线PN对称. |