已知抛物线与直线交于A,B两点(易于原点O),且以AB为直径的圆恰好过原点.(1)求证:直线过定点.(2)求:面积的最小值.

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已知抛物线

与直线

交于A,B两点(易于原点O),且以AB为直径的圆恰好过原点.
(1)求证:直线

过定点.
(2)求:

面积的最小值.

答案

证(1)设

易知直线

不平行于x轴,设

的方程为x=ky+b…………2分
由AB为直径的圆过原点,得OA⊥OB…………3分

……………5分
由

得

……………6分
由韦达定理得

………7分
故:

的方程为

,∴直线

过定点(1,0)………8分
解(2):设C(1,0),则

……………10分

………………12分
∴当k=0时,

最小为1.…………13分

解析

同答案

举一反三

抛物线有光学性质: 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y²=2px(p＞0)

一光源在点M(

,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l: 2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)

(1)设P、Q两点坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，证明：y₁·y₂=－p²；
(2)求抛物线的方程；
(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.

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（本小题满分13分）已知抛物线C：

与直线l：

没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．
（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：

．

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若抛物线

上总存在关于直线

对称的两点，求

的范围.

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设抛物线

(p为常数)的准线与X轴交于点K，过K的直线l与抛物线交于A、B两点，则

= 。

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（本小题12分）一座抛物线形的拱桥的跨度为

米，拱顶离水平面

米，水面上有一竹排上放有宽10米、高6米的木箱，问其能否安全通过拱桥？

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