已知动圆C过定点F(1,0),且与定直线x=-1相切.(Ⅰ) 求动圆圆心C的轨迹T的方程;(Ⅱ)若轨迹T上有两个定点A、B分别在其对称轴的上、下两侧,且|FA|
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已知动圆C过定点F(1,0),且与定直线x=-1相切. (Ⅰ) 求动圆圆心C的轨迹T的方程; (Ⅱ)若轨迹T上有两个定点A、B分别在其对称轴的上、下两侧,且|FA|=2,|FB|=5,在轨迹T位于A、B两点间的曲线段上求一点P,使P到直线AB的距离最大,并求距离的最大值. |
答案
(Ⅰ)由题知意:动圆圆心C的轨迹方程为:y2=4x, ∴动圆的圆心C的轨迹T是以O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线. (Ⅱ)由已知可得F(1,0),设A(x1,y1),(其中y1>0), 由|FA|=2得,x1+1=2,x1=1,所以A(1,2), 同理可得B(4,-4), 所以直线AB的方程为:2x+y-4=0. 设与AB平行的直线的方程为2x+y+m=0(m≠-4). 当直线与抛物线相切时,切点到AB的距离最大, 由方程组,消元得, 4x2+(4m-4)x+m2=0…*, 由△=(4m-4)2-16m2=0,得,m=. 此时(*)式的解为x=,切点P(,-1), 距离最大值为:. |
举一反三
过点F(1,0)且与直线l:x=-1相切的动圆圆心的轨迹方程是______. |
若动点P到点A (0,1 )的距离比到直线l:y=-2的距离小1,则动点P的轨迹方程为______. |
已知曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1. (Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.证明:点F在直线BD上. |
根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是y=3; (2)过点P(-2,4); (3)焦点到准线的距离为. |
若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3,则点P的横坐标等于______. |
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