（、（本题16分）如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，使得都落在抛物线上，点关于抛物线的轴对称，且，抛物线的顶点到底边的距离是，记，

题型：不详难度：来源：

（、（本题16分）
如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，使得都落在抛物线上，点关于抛物线的轴对称，且，抛物线的顶点到底边的距离是，记，梯形面积为．
（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为轴建立坐标系，使抛物线开口向下，求出该抛物线的方程；
（2）求面积关于的函数解析式，并写出其定义域；
（3）求面积的最大值．

答案

解（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为轴建立坐标系，
设抛物线方程为：，
由图得抛物线过点，代入求得，
所以外轮廓线所在抛物线的方程：        ………………………5分
（2）设，，代入抛物线方程得，故梯形的高为 =     …………………9分
又由解得
其定义域为                               ………………………10分
（3），
令，解得                                  -------------------12分
当时函数在该区间递增，
当时函数在该区间递减，          ………………………14分
所以当时函数取得最大值，         ………………………16分

解析

略