解:由推“直线AB恒过定点(2p,0)” 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) (I)当直线l有存在斜率时,设直线方程为y=kx+b,显然k≠0且b≠0. 联立方程得:消去y得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0
又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,
故直线l的方程为:y=kx-2pk=k(x-2p),故直线过定点(2p,0) (II)当直线l不存在斜率时,设它的方程为x=m,显然m>0
又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即m2-2m=0,解得m=0(舍去)或m=2 可知直线l方程为:x=2,故直线过定点(2,0) 综合(1)(2)可知,满足条件的直线过定点(2,0). 由“直线AB恒过定点(2p,0)”推 设l:x=ty+2p代入抛物线y2=2px消去x得, y2-2pty-4p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2) 则y1+y2=2pt,y1y2=-4p2 ∴=x1x2+y1y2=(ty1+2p)(ty2+2p)+y1y2 =t2y1y2+2pt(y1+y2)+4p2+y1y2 =-4p2t2+4p2t2+4p2-4p2=0. ∴是“直线AB恒过定点(2p,0)”的充要条件. 故选B. |