抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M1,则|MM1||AB|的最大值为___
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抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M1,则|MM1||AB|的最大值为___
题型:不详
难度:
来源:
抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M
1
,则
|M
M
1
|
|AB|
的最大值为______.
答案
设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中,2|MM
1
|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,
|AB|
2
=a
2
+b
2
-2abcos120°=a
2
+b
2
+ab
配方得,|AB|
2
=(a+b)
2
-ab,
又∵ab≤(
a+b
2
)
2
,
∴(a+b)
2
-ab≥(a+b)
2
-
1
4
(a+b)
2
=
3
4
(a+b)
2
得到|AB|≥
3
2
(a+b).
所以
|M
M
1
|
|AB|
≤
1
2
(a+b)
3
2
(a+b)
=
3
3
,
即
|M
M
1
|
|AB|
的最大值为
3
3
.
故答案为:
3
3
.
举一反三
如图,AB为抛物线y=x
2
上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最短距离.
题型:不详
难度:
|
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已知P是抛物线y
2
=4x上一动点,F是抛物线的焦点,定点A(4,1),则|PA|+|PF|的最小值为( )
A.5
B.2
C.
17
D.
10
题型:不详
难度:
|
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一抛物线型拱桥,当水面离桥顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m时,则水面宽为( )
A.
6
m
B.2
6
m
C.4.5m
D.9m
题型:不详
难度:
|
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求满足下列条件的曲线方程:
(1)经过两点
P(-2
3
,1),Q(
3
,-2)
的椭圆的标准方程;
(2)与双曲线
x
2
9
-
y
2
16
=1
有公共渐近线,且经过点(-3,2
3
)的双曲线的标准方程;
(3)焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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