如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最短距离.
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如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最短距离.
题型:不详
难度:
来源:
如图,AB为抛物线y=x
2
上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最短距离.
答案
设A、M、B三点的纵坐标分别为y
1
、y
2
、y
3
,
如图,
A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′.
F为抛物线的焦点.连接AA′,MM′,BB′,AF,BF.
由抛物线的定义可知:|AF|=|AA′|=
y
1
+
p
2
=
y
1
+
1
4
,
|BF|=
y
3
+
1
4
.
∴
y
1
=|AF|-
1
4
,
y
3
=|BF|-
1
4
.
又M是线段AB的中点,∴
y
2
=
1
2
(
y
1
+
y
3
)=
1
2
(|AF|+|BF|-
1
2
)
≥
1
2
(|AB|-
1
2
)
=
1
2
(a-
1
2
)
.
当且仅当AB过焦点F时,等号成立.
即当定长为a的弦AB过焦点F时,弦AB的中点M与x轴的距离最小,最小值为
1
2
(a-
1
2
)
.
举一反三
已知P是抛物线y
2
=4x上一动点,F是抛物线的焦点,定点A(4,1),则|PA|+|PF|的最小值为( )
A.5
B.2
C.
17
D.
10
题型:不详
难度:
|
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一抛物线型拱桥,当水面离桥顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m时,则水面宽为( )
A.
6
m
B.2
6
m
C.4.5m
D.9m
题型:不详
难度:
|
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求满足下列条件的曲线方程:
(1)经过两点
P(-2
3
,1),Q(
3
,-2)
的椭圆的标准方程;
(2)与双曲线
x
2
9
-
y
2
16
=1
有公共渐近线,且经过点(-3,2
3
)的双曲线的标准方程;
(3)焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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