如图,已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2).求证:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)y
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如图,已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2).求证:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)y
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知AB是过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
求证:
(1)|AB|=x
1
+x
2
+p;
(2)y
1
y
2
=-p
2
,x
1
x
2
=
p
2
4
;
(3)(理科)直线的倾斜角为θ时,求弦长|AB|.
(3)(文科)当p=2,直线AB的倾斜角为
π
4
时,求弦长|AB|.
答案
(1)证明:∵AB是过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点的弦,
∴由抛物线定义可得|AB|=x
1
+
p
2
+x
2
+
p
2
=x
1
+x
2
+p;
(2)证明:设直线AB的方程为x=my+
p
2
,代入y
2
=2px,可得y
2
-2pmy-p
2
=0
∴y
1
y
2
=-p
2
,∴x
1
x
2
=
p
2
4
;
(3)(理科)由(2)知,y
1
y
2
=-p
2
,y
1
+y
2
=2pm,∴
y
21
+
y
22
=(y
1
+y
2
)
2
-2y
1
y
2
=4p
2
m
2
+2p
2
,
∴
y
21
+
y
22
=2p(x
1
+x
2
)=4p
2
m
2
+2p
2
,∴x
1
+x
2
=2pm
2
+p,
∴θ=90°时,m=0,∴|AB|=2p;θ≠90°时,m=
1
tanθ
,|AB|=
2p
ta
n
2
θ
+2p;
(4)(文科)由(3)(理科)知,|AB|=
2p
ta
n
2
θ
+2p=8.
举一反三
(2q14•蓟县一模)抛物线x
2
=4y的焦点坐标是( )
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(
1
16
,0
)
D.(
0,
1
16
)
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=-2px(p>0)上横坐标为-3的一点到准线的距离为4.
(1)求p的值;
(2)设动直线y=x+b与抛物线C相交于A、B两点,问在直线l:y=2上是否存在与b的取值无关的定点M,使得∠AMB被直线l平分?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P、Q,由P、Q分别引其准线的垂线PH
1
、QH
2
垂足分别为H
1
、H
2
,H
1
H
2
的中点为M,记|PF|=a,|QF|=b,则|MF|=______.
题型:不详
难度:
|
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已知F是抛物线y
2
=4x的焦点,A,B是抛物线上两点,△AFB是正三角形,则该正三角形的边长为______.
题型:不详
难度:
|
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已知P在抛物线y
2
=4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )
A.(
1
4
,-1)
B.(
1
4
,1)
C.(1,2)
D.(1,-2)
题型:不详
难度:
|
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