过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P、Q,由P、Q分别引其准线的垂线PH1、QH2垂足分别为H1、H2,H1H2的中点为M,记|PF|=a,
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过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P、Q,由P、Q分别引其准线的垂线PH1、QH2垂足分别为H1、H2,H1H2的中点为M,记|PF|=a,|QF|=b,则|MF|=______. |
答案
①PQ与x轴不垂直时,如图所示, 由抛物线的定义,可得|PF|=|PH1|,|QF|=|QH2|. ∴∠PFH1=∠PH1F,∠QFH2=∠QH2F, 设准线交x轴于点G, ∵QH2∥FG∥PH1,∴∠H2FG=∠QH2F,∠H1FG=∠PH1F. 因此∠H2FG=∠QFH2,且∠H1FG=∠PFH1, 可得∠H2FG+∠H1FG=×180°=90°. ∴Rt△H1H2F中,中线|MF|=|H1H2|. 过点P作PN⊥QS,垂足为N,则|PN|=|H1H2|. 在Rt△PQN中,|PQ|=|PH1|+|QH2|=a+b,|QN|=||PH1|-|QH2||=|a-b|, ∴|PN|===2.可得|MF|=|H1H2|=. ②当PQ⊥x轴时,可得p=a=b,此时|MF|=p=也成立. 综上所述,可得MF的长等于 故答案为: |
举一反三
已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是抛物线上两点,△AFB是正三角形,则该正三角形的边长为______. |
已知P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )A.(,-1) | B.(,1) | C.(1,2) | D.(1,-2) |
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抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦AB中点M作准线l的垂线,垂足为M1,则的最大值为______. |
如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最短距离.
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已知P是抛物线y2=4x上一动点,F是抛物线的焦点,定点A(4,1),则|PA|+|PF|的最小值为( ) |
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