已知抛物线y2=4x,点A为其上一动点,P为OA的中点(O为坐标原点),且点P恒在抛物线C上,(1)求曲线C的方程;(2)若M点为曲线C上一点,其纵坐标为2,动

已知抛物线y2=4x,点A为其上一动点,P为OA的中点(O为坐标原点),且点P恒在抛物线C上,(1)求曲线C的方程;(2)若M点为曲线C上一点,其纵坐标为2,动

题型:不详难度:来源:
已知抛物线y2=4x,点A为其上一动点,P为OA的中点(O为坐标原点),且点P恒在抛物线C上,
(1)求曲线C的方程;
(2)若M点为曲线C上一点,其纵坐标为2,动直线L交曲线C与T、R两点:
①证明:当动直线L恒过定点N(4,-2)时,∠TMR为定值;
②几何画板演示可知,当∠TMR等于①中的那个定值时,动直线L必经过某个定点,请指出这个定点的坐标.(只需写出结果,不必证明)
答案
(1)设P(x,y),则A(2x,2y)
∵A在抛物线y2=4x上,∴(2y)2=4(2x)即y2=2x
∴抛物线C的方程为y2=2x.------------------------------------------------(4分)
(2)①证明:∵M点为曲线C上一点,其纵坐标为2,
∴M(2,2)--------------------(5分)
当直线L垂直x轴即为x=4时,T(4,2


2
),R(4,-2


2
)

此时,kMTkMR=
2


2
-2
2
2


2
+2
-2
=-1
,所以∠TMR=
π
2

∴可以猜∠TMR=
π
2
-------------------------------------------.(8分)
显然直线L不能与x轴平行,∴可以设直线L为x-4=m(y+2)T(x1,y1),R(x2,y2
联立y2=2x得到y2-2my-4m-8=0,y1+y2=2m,y1y2=-4m-8-------------(10分)


MT


MR
=(x1-2,y1-2)•(x2-2,y2-2)
=(x1-2,)(x2-2)+(y1-2)(y2-2)
=(my1+2m+2)(my2+2m+2)+(y1-2)(y2-2)
=(m2+1)y1y2+(2m2+2m-2)(y1+y2)+(2m+2)2+4
=(m2+1)(-4m-8)+(2m2+2m-2)2m+(2m+2)2+4
=0

∠TMR=
π
2
--------------------------------------------------------(13分)
②定点为N(4,-2)---------------------------------------------------(14分)
举一反三
已知抛物线y2=-4x上一点A到焦点的距离等于5,则A到坐标原点的距离为______.
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抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为(  )
A.
1
4
B.-
1
4
C.4D.-4
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如图,抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为


3
的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是______.
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已知点P(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,线段PF与抛物线C的交点为M,过M作抛物线准线的垂线,垂足为Q.若∠PQF=90°,则p=______.
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已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=(  )
A.2:


5
B.1:2C.1:


5
D.1:3
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