已知A,B是抛物线y2=-7x上的两点,且OA⊥OB(Ⅰ)求证:直线AB过定点,并求出定点坐标;(Ⅱ)求△AOB的面积的最小值.
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已知A,B是抛物线y2=-7x上的两点,且OA⊥OB (Ⅰ)求证:直线AB过定点,并求出定点坐标; (Ⅱ)求△AOB的面积的最小值. |
答案
(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则, ∵OA⊥OB,∴•=0, ∴x1x2+y1y2=0, ∴(-)•(-)+y1y2=0, ∴y1y2=-49,x1x2=49, ∴kAB===, ∴AB的方程为y-y1=(x-x1), ∴y=x-, ∴y=(x+7), ∴直线AB过点(-7,0)…(6分) (2)∵直线AB过点(-7,0),OA⊥OB, ∴当直线AB过(-7,0)且垂直于x轴时,△AOB的面积的取最小值. 此时A(-7,7),B(-7,-7), ∴|OA|=|OB|=7, ∴△AOB的面积的最小值S=×7×7=49.…(12分) |
举一反三
已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F1的直线与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为( ) |
若抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为3,则点P到抛物线的焦点F的距离为( ) |
已知抛物线y2=4x的焦点为F,在第一象限中过抛物线上任意一点P的切线为l,过P点作平行于x轴的直线m,过焦点F作平行于l的直线交m于M,若|PM|=4,则点P的坐标为______. |
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2x的焦点为F.设M是抛物线上的动点,则的最大值为______. |
已知抛物线y2=2ax的准线为x=-,则其焦点坐标为______. |
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