已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(2,0).(1)求抛物线C的方程;(2)过N(-1,0)的直线l交曲C于A,B两点,又AB的中垂线交y轴于点D(0,t),求

已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(2,0).(1)求抛物线C的方程;(2)过N(-1,0)的直线l交曲C于A,B两点,又AB的中垂线交y轴于点D(0,t),求

题型:不详难度:来源:
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(2,0).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过N(-1,0)的直线l交曲C于A,B两点,又AB的中垂线交y轴于点D(0,t),求t的取值范围.
答案
(1)设抛物线方程为y2=2px,则
p
2
=2
,∴p=4,
所以,抛物线的方程是y2=8x.(4分)
(2)由题设知,直线l的斜率存在,故设直线l的方程是y=k(x+1),联立





y=k(x+1)
y2=8x
,消去x得ky2-8y+8k=0,(6分)
显然k≠0,由△=64-32k2>0,得0<|k|<


2
.(8分)
由韦达定理得,y1+y2=
8
k
,y1y2=8,
所以x1+x2=
y1+y2
k
-2=
8
k2
-2
,则AB中点E坐标是(
4
k2
-1,
4
k
),(10分)
由kDE-k=-1可得k3t-3k2-4=0,
所以,t=
4
k3
+
3
k
,令
1
k
 =x
,则t=4x3+3x,其中|x|


2
2
,(12分)
因为t′=12x2+3>0,所以函数t=4x3+3x是在(-∞,-


2
 
2
),(


2
2
,+∞
)上增函数.
所以,t的取值范围是(-∞,-
5


2
2
)∪(
5


2
2
,+∞)
.(15分)
举一反三
设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与x轴交于点C,过点F作它的弦AB,若∠CBF=90°,则|AF|-|BF|=______.
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抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是(  )
A.(1,1)B.(
1
2
1
4
C.(
3
2
9
4
)
D.(2,4)
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线y2=12x上的点P与焦点的距离为8,则P到准线的距离为(  )
A.5B.6C.7D.8
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已知抛物线x2=
1
a
y
的焦点坐标为(0,-
1
8
)
,则抛物线上纵坐标为-2的点到抛物线焦点的距离为(  )
A.
1
8
B.
5
4
C.
9
4
D.
17
8
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线y=mx2的焦点坐标为(  )
A.(
1
4m
,0)
B.(0,
1
4m
)
C.(
m
4
,0)
D.(0,
m
4
)
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