已知抛物线C:y2=4x,P(x0,y0)(y0>0)为抛物线上一点,Q为P关于x轴对称的点,O为坐标原点.(1)若S△POQ=2,求P点的坐标;(2)若过满足

已知抛物线C:y2=4x,P(x0,y0)(y0>0)为抛物线上一点,Q为P关于x轴对称的点,O为坐标原点.(1)若S△POQ=2,求P点的坐标;(2)若过满足

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已知抛物线C:y2=4x,P(x0,y0)(y0>0)为抛物线上一点,Q为P关于x轴对称的点,O为坐标原点.
(1)若S△POQ=2,求P点的坐标;
(2)若过满足(1)中的点P作直线PA,PB交抛物线C于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,且k1k2=4,求证:直线AB过定点,并求出该定点坐标.
答案
(1)由题意得,S△POQ=
1
2
x02y0=2
,∴
y03
4
=2
,∴y0=2,即P(1,2)…(4分)
(2)证明:设直线AB的方程为x=my+b,A(x1,y1)B(x2,y2
直线与抛物线联立得y2-4my-4b=0,∴y1+y2=4m,y1y2=-4b
由k1k2=4,即
y1-2
x1-1
y2-2
x2-1
=4
,整理得
y1y2-2(y1+y2)+4
x1x2-(x1+x2)+1
=4

y1y2-2(y1+y2)+4
1
16
y1y2-
1
4
[(y1+y2)2-2y1y2]+1
=4

把韦达定理代入得(b-2m)(b+2m-1)=0b=2m或b=-2m+1(舍)…(10分)
所以直线AB过定点(0,-2)…(12分)
举一反三
已知抛物线y2=8x,过点A(2,0)作倾斜角为
π
3
的直线l,若l与抛物线交于B、C两点,弦BC的中点P到y轴的距离为
(  )
A.
10
3
B.
16
3
C.
32
3
D.8


3
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抛物线y=
1
4
x2
的准线方程是(  )
A.x=
1
16
B.y=-
1
16
C.x=-1D.y=-1
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抛物线方程为y2=8x,其焦点为F,过F的直线l与抛物线交于两点A、B,它们的坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=______,y1y2=______.
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设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若△ABC的重心与抛物线的焦点F重合,则|AF|+|BF|+|CF|的值为______.
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设坐标原点为O,抛物线y2=4x与过点(m,0)的直线交于A、B两点,若


OA


OB
=-3
,则m的值为______.
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