已知a＞0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y2=2px（p＞0）于P，Q两点，若1|MP|2+1|MQ|2为定值，则a=（ ）A．2pB．2pC．12pD
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已知a＞0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y2=2px（p＞0）于P，Q两点，若1|MP|2+1|MQ|2为定值，则a=（ ）A．2pB．2pC．12pD
题型：武汉模拟
难度：
来源：
已知a＞0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y
2
=2px（p＞0）于P，Q两点，若
1
|MP|
2
+
1
|MQ|
2
为定值，则a=（ ）
A．
2
p
B．2p
C．
1
2
p
D．p
答案
设直线PQ的参数方程为x=a+tcosα，y=tsinα
则P，Q点的坐标分别为：（a+t
1
cosα，t
1
sinα），（a+t
2
cosα，t
2
sinα），
∴|MP|
2
=（a+t
1
cosα-a）
2
+（t
1
sinα）
2
=t
1
2
cos
2
α+t
1
2
sin
2
α=t
1
2
|MQ|
2
=（a+t
2
cosα-a）
2
+（t
2
sinα）
2
=t
2
2
cos
2
α+t
2
2
sin
2
α=t
2
2
又∵P，Q在抛物线y
2
=2px，
∴（t
1
sinα）
2
=2p（a+t
1
cosα）
（t
2
sinα）
2
=2p（a+t
2
cosα）
∴sin
2
αt
1
2
-2pcosαt
1
-2pa=0
sin
2
αt
2
2
-2pcosαt
2
-2pa=0
∴t
1
，t
2
是方程sin
2
αt
2
-2pcosαt-2pa=0的两根，
∴t
1
+t
2
=
2pcosα
sin
2
α
，t
1
•t
2
=-
2pa
sin
2
α
t
1
2
+t
2
2
=（t
1
+t
2
）
2
-2t
1
t
2
=
4(
p
2
cos
2
α +pa
sin
2
α)
sin
4
α
∵
1
|MP|
2
+
1
|MQ|
2
=
1
t
1
2
+
1
t
2
2
=
t
1
+
t
2
(
t
1
•
t
2
)
2
=
4(
p
2
cos
2
α+pa
sin
2
α)
sin
4
α
(
2pa
sin
2
α
)
2
=
p
cos
2
α+a
sin
2
α
p
a
2
为定植，∴a=p
故选D
举一反三
已知抛物线y
2
=4x，P是抛物线上一点，F为焦点，若|PF|=5，则点P的坐标是______．
题型：不详
难度：
|
查看答案
抛物线y
2
=4x的弦AB垂直x轴，若
|AB|=4
3
，则焦点到AB的距离为______．
题型：不详
难度：
|
查看答案
抛物线x=
1
4a
y
2
的焦点坐标为（ ）
A．（-
1
a
，0
）
B．（-a，0）
C．（
1
a
，0
）
D．（a，0）
题型：不详
难度：
|
查看答案
抛物线x
2
+12y=0的准线方程是______．
题型：潍坊二模
难度：
|
查看答案
抛物线
y=
x
2
4
的焦点坐标是（ ）
A．（0，
1
16
）
B．（
1
16
，0）
C．（1，0）
D．（0，1）
题型：不详
难度：
|
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