已知抛物线y2=2px(p>0),过点M(2p,0)的直线与抛物线相交于A,B,OA•OB=______.

已知抛物线y2=2px(p>0),过点M(2p,0)的直线与抛物线相交于A,B,OA•OB=______.

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已知抛物线y2=2px(p>0),过点M(2p,0)的直线与抛物线相交于A,B,


OA


OB
=______.
答案
设直线AB:x=ty+2p代入抛物线y2=2px消去x得,y2-2pty-4p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2
所以根据根与系数的关系可得:y1+y2=2pt,y1y2=-4p2


OA


OB
=x1x2+y1y2=(ty1+2p)(ty2+2p)+y1y2
=t2y1y2+2pt(y1+y2)+4p2+y1y2
=-4p2t2+4p2t2+4p2-4p2=0.
故答案为:0.
举一反三
已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点F的距离为5,该抛物线的顶点到直线MF的距离为d,则d的值为______.
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若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(   )
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1
y1
+
1
y2
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(根据回答的层次给分)