海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A

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海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t。
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向。
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

答案

解：（1）t=0.5时，P的横坐标x_P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y_P=3
由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时
由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，
故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度。
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t²）
由vt=，整理得
因为，当且仅当t=1时等号成立，
所以v²≥144×2+337=25²，即v≥25
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。