试题分析:(1)思路一:设为曲线上任意一点, 依题意可知曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线, 得到曲线的方程为. 思路二:设为曲线上任意一点, 由,化简即得. (2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明如下: 由(1)知抛物线的方程为, 设,得, 应用导数的几何意义,确定切线的斜率,进一步得切线的方程为. 由,得. 由,得. 根据,得圆心,半径, 由弦长,半径及圆心到直线的距离之关系,确定. 试题解析:解法一:(1)设为曲线上任意一点, 依题意,点S到的距离与它到直线的距离相等, 所以曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线, 所以曲线的方程为. (2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明如下: 由(1)知抛物线的方程为, 设,则, 由,得切线的斜率 , 所以切线的方程为,即. 由,得. 由,得. 又,所以圆心, 半径, . 所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.
解法二: (1)设为曲线上任意一点, 则, 依题意,点只能在直线的上方,所以, 所以, 化简得,曲线的方程为. (2)同解法一. |