已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点
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已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F
1
(-3,0),一条渐近线的方程是
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求k的取值范围。
答案
(1)
;(2)
解析
试题分析:(1)因为中心在原点的双曲线C的一个焦点是F
1
(一3,0),一条渐近线的方程是
,两个条件即可求出双曲线的方程.
(2)依题意可得通过假设直线
的方程,联立双曲线方程消去y,即可得到一个关于x的二次方程,运用韦达定理以及判别式要大于零,即可写出线段MN的中垂线的直线方程,从而求出直线与两坐标轴的交点,即可表示出所求的三角形的面积,从而得到一个等式结合判别式的关系式,即可得到结论.
试题解析:(1)设双曲线
的方程为
,
由题设得
解得
,所以双曲线
的方程为
;
(2)设直线
的方程为
,点
,
的坐标满足方程组
,将①式代入②式,得
,
整理得
,此方程有两个不等实根,于是
,
且
,
整理得
.③ 由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
满足:
,
,从而线段
的垂直平分线的方程为
,此直线与
轴,
轴的交点坐标分别为
,
,
由题设可得
,整理得
,
,
将上式代入③式得
,整理得
,
,解得
或
, 所以
的取值范围是
.
举一反三
已知椭圆
:
的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若椭圆
上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围;
(3)如果直线
交椭圆
于不同的两点
,
,且
,
都在以
为圆心的圆上,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
(
)的焦距为
,且过点(
,
),右焦点为
.设
,
是
上的两个动点,线段
的中点
的横坐标为
,线段
的中垂线交椭圆
于
,
两点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的离心率为
,右焦点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过椭圆右焦点F
2
斜率为
(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,
为椭圆的右顶点,直线
分别交直线
于点
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆C
1
:
+
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C
2
:
-
=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C
1
分别交于C,D点,若S
△ACD
=S
△PCD
.
(1)求P点的坐标.
(2)能否使直线CD过椭圆C
1
的右焦点,若能,求出此时双曲线C
2
的离心率;若不能,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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.
题型:不详
难度:
|
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