已知椭圆E:=1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,M为椭圆上任意一点,且|MF1|,|F1F2|,|MF2|构成等差数列,点F2
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已知椭圆E:=1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,M为椭圆上任意一点,且|MF1|,|F1F2|,|MF2|构成等差数列,点F2
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
E
:
=1(
a
>
b
>0),
F
1
(-
c,
0),
F
2
(
c,
0)为椭圆的两个焦点,
M
为椭圆上任意一点,且|
MF
1
|,|
F
1
F
2
|,|
MF
2
|构成等差数列,点
F
2
(
c,
0)到直线
l
:
x
=
的距离为3.
(1)求椭圆
E
的方程;
(2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆
E
恒有两个交点
A
,
B
,且
⊥
,求出该圆的方程.
答案
(1)
=1(2)
x
2
+
y
2
=
解析
(1)由题知2|
F
1
F
2
|=|
MF
1
|+|
MF
2
|,
即2×2
c
=2
a
,得
a
=2
c
.
又由
-
c
=3,解得
c
=1,
a
=2,
b
=
.
∴椭圆
E
的方程为
=1.
(2)假设以原点为圆心,
r
为半径的圆满足条件.
(ⅰ)若圆的切线的斜率存在,并设其方程为
y
=
kx
+
m
,则
r
=
,
r
2
=
,①
由
消去
y
,整理得(3+4
k
2
)
x
2
+8
kmx
+4(
m
2
-3)=0,设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),有
又∵
⊥
,∴
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0,
即4(1+
k
2
)(
m
2
-3)-8
k
2
m
2
+3
m
2
+4
k
2
m
2
=0,化简得
m
2
=
(
k
2
+1),②
由①②求得
r
2
=
.
所求圆的方程为
x
2
+
y
2
=
.
(ⅱ)若
AB
的斜率不存在,设
A
(
x
1
,
y
1
),则
B
(
x
1
,-
y
1
),∵
⊥
,∴
·
=0,有
-
=0,
=
,代入
=1,得
=
.此时仍有
r
2
=|
|=
.
综上,总存在以原点为圆心的圆
x
2
+
y
2
=
满足题设条件
举一反三
已知椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的离心率为
,其左、右焦点分别是
F
1
、
F
2
,过点
F
1
的直线
l
交椭圆
C
于
E
、
G
两点,且△
EGF
2
的周长为4
.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)若过点
M
(2,0)的直线与椭圆
C
相交于两点
A
、
B
,设
P
为椭圆上一点,且满足
+
=
t
(
O
为坐标原点),当|
-
|<
时,求实数
t
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的右焦点为
,设左顶点为A,上顶点为B且
,如图.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若
,过
的直线
交椭圆于
两点,试确定
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
的三个顶点都在抛物线
上,且抛物线的焦点
满足
,若
边上的中线所在直线
的方程为
(
为常数且
).
(1)求
的值;
(2)
为抛物线的顶点,
,
,
的面积分别记为
,
,
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的离心率为
,且过点
直线
与椭圆M交于A、C两点,直线
与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O;
(3)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆
的离心率为
,且经过点
过坐标原点的直线
与
均不在坐标轴上,
与椭圆M交于A、C两点,直线
与椭圆M交于B、D两点
(1)求椭圆M的方程;
(2)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
题型:不详
难度:
|
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