已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1、F2,过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点,且△EGF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程;(2
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已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1、F2,过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点,且△EGF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程;(2
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的离心率为
,其左、右焦点分别是
F
1
、
F
2
,过点
F
1
的直线
l
交椭圆
C
于
E
、
G
两点,且△
EGF
2
的周长为4
.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)若过点
M
(2,0)的直线与椭圆
C
相交于两点
A
、
B
,设
P
为椭圆上一点,且满足
+
=
t
(
O
为坐标原点),当|
-
|<
时,求实数
t
的取值范围.
答案
(1)
+
y
2
=1.(2)
∪
.
解析
(1)由题意知椭圆的离心率
e
=
=
,∴
e
2
=
=
=
,即
a
2
=2
b
2
.
又△
EGF
2
的周长为4
,即4
a
=4
,∴
a
2
=2,
b
2
=1.
∴椭圆
C
的方程为
+
y
2
=1.
(2)由题意知直线
AB
的斜率存在,即
t
≠0.
设直线
AB
的方程为
y
=
k
(
x
-2),
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
P
(
x
,
y
),由
,
得(1+2
k
2
)
x
2
-8
k
2
x
+8
k
2
-2=0.
由
Δ
=64
k
4
-4(2
k
2
+1)(8
k
2
-2)>0,得
k
2
<
.
x
1
+
x
2
=
,
x
1
x
2
=
,
∵
+
=
t
,∴(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)=
t
(
x
,
y
),
x
=
=
,
y
=
=
[
k
(
x
1
+
x
2
)-4
k
]=
.
∵点
P
在椭圆
C
上,∴
+2
=2,
∴16
k
2
=
t
2
(1+2
k
2
).
∵|
-
|<
,∴
|
x
1
-
x
2
|<
,
∴(1+
k
2
)[(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]<
,
∴(1+
k
2
)
<
,
∴(4
k
2
-1)(14
k
2
+13)>0,∴
k
2
>
.
∴
<
k
2
<
.∵16
k
2
=
t
2
(1+2
k
2
),∴
t
2
=
=8-
,
又
<1+2
k
2
<2,∴
<
t
2
=8-
<4,
∴-2<
t
<-
或
<
t
<2,
∴实数
t
的取值范围为
∪
.
举一反三
已知椭圆
的右焦点为
,设左顶点为A,上顶点为B且
,如图.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若
,过
的直线
交椭圆于
两点,试确定
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知
的三个顶点都在抛物线
上,且抛物线的焦点
满足
,若
边上的中线所在直线
的方程为
(
为常数且
).
(1)求
的值;
(2)
为抛物线的顶点,
,
,
的面积分别记为
,
,
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的离心率为
,且过点
直线
与椭圆M交于A、C两点,直线
与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O;
(3)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的离心率为
,且经过点
过坐标原点的直线
与
均不在坐标轴上,
与椭圆M交于A、C两点,直线
与椭圆M交于B、D两点
(1)求椭圆M的方程;
(2)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
xOy
中,
O
为坐标原点,
A
(-2,0),
B
(2,0),点
P
为动点,且直线
AP
与直线
BP
的斜率之积为-
.
(1)求动点
P
的轨迹
C
的方程;
(2)过点
D
(1,0)的直线
l
交轨迹
C
于不同的两点
M
,
N
,△
MON
的面积是否存在最大值?若存在,求出△
MON
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题型:不详
难度:
|
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