在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(-2,0),B(2,0),点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点D
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在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(-2,0),B(2,0),点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点D
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系
xOy
中,
O
为坐标原点,
A
(-2,0),
B
(2,0),点
P
为动点,且直线
AP
与直线
BP
的斜率之积为-
.
(1)求动点
P
的轨迹
C
的方程;
(2)过点
D
(1,0)的直线
l
交轨迹
C
于不同的两点
M
,
N
,△
MON
的面积是否存在最大值?若存在,求出△
MON
的面积的最大值及相应的直线方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
=1(
x
≠±2)(2)
,
x
=1
解析
(1)设
P
点的坐标为(
x
,
y
).
∵
A
(-2,0),
B
(2,0),直线
AP
与直线
BP
的斜率之积为-
,
∴
=-
(
x
≠±2).
化简整理得
P
点的轨迹
C
的方程为
=1(
x
≠±2).
(2)依题意可设直线
l
的方程为
x
=
ny
+1.
由
得(3
n
2
+4)
y
2
+6
ny
-9=0.
设
M
(
x
1
,
y
1
),
N
(
x
2
,
y
2
),则
y
1
+
y
2
=
,
y
1
y
2
=-
.
△
MON
的面积
S
=
|
OD
|·|
y
1
-
y
2
|=
=
.
令
t
=
,则
t
≥1,且3
t
+
在[1,+∞)上单调递增,
∴当
t
=1时,3
t
+
取得最小值4,
S
取得最大值
,
此时直线的方程为
x
=1.
举一反三
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F
1
(-3,0),一条渐近线的方程是
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求k的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若椭圆
上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围;
(3)如果直线
交椭圆
于不同的两点
,
,且
,
都在以
为圆心的圆上,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
(
)的焦距为
,且过点(
,
),右焦点为
.设
,
是
上的两个动点,线段
的中点
的横坐标为
,线段
的中垂线交椭圆
于
,
两点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的离心率为
,右焦点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过椭圆右焦点F
2
斜率为
(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,
为椭圆的右顶点,直线
分别交直线
于点
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆C
1
:
+
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C
2
:
-
=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C
1
分别交于C,D点,若S
△ACD
=S
△PCD
.
(1)求P点的坐标.
(2)能否使直线CD过椭圆C
1
的右焦点,若能,求出此时双曲线C
2
的离心率;若不能,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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