椭圆的离心率为,且过点直线与椭圆M交于A、C两点,直线与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形(1)求椭圆M的方程;(2)求证:平行四边形ABCD的对

椭圆的离心率为,且过点直线与椭圆M交于A、C两点,直线与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形(1)求椭圆M的方程;(2)求证:平行四边形ABCD的对

题型:不详难度:来源:
椭圆的离心率为,且过点直线与椭圆M交于A、C两点,直线与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O;
(3)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
答案
(1);(2)详见解析;(3)最小值为
解析

试题分析:(1)依题意有,再加上,解此方程组即可得的值,从而得椭圆 的方程(2)由于四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合
利用(1)所得椭圆方程,联立方程组消去得:,显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根,由此可得线段的中点为 同理可得线段的中点为,由于中点重合,所以,解得:(舍)这说明都过原点即相交于原点(3)由于对角线过原点且该四边形为菱形,所以其面积为由方程组易得点A的坐标(用表示),从而得(用表示);同理可得(由于,故仍可用表示)这样就可将表示为的函数,从而求得其最小值
试题解析:(1)依题意有,又因为,所以得
故椭圆的方程为                                    3分
(2)依题意,点满足
所以是方程的两个根

所以线段的中点为 
同理,所以线段的中点为         5分
因为四边形是平行四边形,所以
解得,(舍)
即平行四边形的对角线相交于原点                7分
(3)点满足
所以是方程的两个根,即

同理,                     9分
又因为,所以,其中
从而菱形的面积

整理得,其中                 10分
故,当时,菱形的面积最小,该最小值为      12分
举一反三
椭圆的离心率为,且经过点过坐标原点的直线均不在坐标轴上,与椭圆M交于A、C两点,直线与椭圆M交于B、D两点
(1)求椭圆M的方程;
(2)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
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在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(-2,0),B(2,0),点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点D(1,0)的直线l交轨迹C于不同的两点MN,△MON的面积是否存在最大值?若存在,求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程;若不存在,请说明理由.
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已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围。
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已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求 的取值范围;
(3)如果直线交椭圆于不同的两点,且都在以为圆心的圆上,求的值.
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已知椭圆)的焦距为,且过点(),右焦点为.设上的两个动点,线段的中点的横坐标为,线段的中垂线交椭圆两点.

(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
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