椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆M交于A、C两点，直线与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形（1）求椭圆M的方程；（2）求证：平行四边形ABCD的对

题型：不详难度：来源：

椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆M交于A、C两点，直线与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值

答案

（1）；（2）详见解析；（3）最小值为

解析

试题分析：（1）依题意有，再加上，解此方程组即可得的值，从而得椭圆 的方程（2）由于四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合
利用（1）所得椭圆方程，联立方程组消去得：，显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段的中点为 同理可得线段的中点为，由于中点重合，所以，解得：或(舍)这说明和都过原点即相交于原点（3）由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为由方程组易得点A的坐标（用表示），从而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）这样就可将表示为的函数，从而求得其最小值
试题解析：（1）依题意有，又因为，所以得
故椭圆的方程为                                    3分
（2）依题意，点满足
所以是方程的两个根
得
所以线段的中点为 
同理，所以线段的中点为         5分
因为四边形是平行四边形，所以
解得，或(舍)
即平行四边形的对角线和相交于原点                7分
（3）点满足
所以是方程的两个根，即
故
同理，                     9分
又因为，所以，其中
从而菱形的面积为
，
整理得，其中                 10分
故，当或时，菱形的面积最小，该最小值为      12分