椭圆的离心率为,且过点直线与椭圆M交于A、C两点,直线与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形(1)求椭圆M的方程;(2)求证:平行四边形ABCD的对
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椭圆的离心率为,且过点直线与椭圆M交于A、C两点,直线与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形(1)求椭圆M的方程;(2)求证:平行四边形ABCD的对
题型:不详
难度:
来源:
椭圆
的离心率为
,且过点
直线
与椭圆M交于A、C两点,直线
与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O;
(3)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
答案
(1)
;(2)详见解析;(3)最小值为
解析
试题分析:(1)依题意有
,再加上
,解此方程组即可得
的值,从而得椭圆
的方程(2)由于四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合
利用(1)所得椭圆方程,联立方程组
消去
得:
,显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根,由此可得线段
的中点为
同理可得线段
的中点为
,由于中点重合,所以
,解得:
或
(舍)这说明
和
都过原点即相交于原点
(3)由于对角线过原点且该四边形为菱形,所以其面积为
由方程组
易得点A的坐标(用
表示),从而得
(用
表示);同理可得
(由于
,故仍可用
表示)这样就可将
表示为
的函数,从而求得其最小值
试题解析:(1)依题意有
,又因为
,所以得
故椭圆
的方程为
3分
(2)依题意,点
满足
所以
是方程
的两个根
得
所以线段
的中点为
同理,所以线段
的中点为
5分
因为四边形
是平行四边形,所以
解得,
或
(舍)
即平行四边形
的对角线
和
相交于原点
7分
(3)点
满足
所以
是方程
的两个根,即
故
同理,
9分
又因为
,所以
,其中
从而菱形
的面积
为
,
整理得
,其中
10分
故,当
或
时,菱形
的面积最小,该最小值为
12分
举一反三
椭圆
的离心率为
,且经过点
过坐标原点的直线
与
均不在坐标轴上,
与椭圆M交于A、C两点,直线
与椭圆M交于B、D两点
(1)求椭圆M的方程;
(2)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
xOy
中,
O
为坐标原点,
A
(-2,0),
B
(2,0),点
P
为动点,且直线
AP
与直线
BP
的斜率之积为-
.
(1)求动点
P
的轨迹
C
的方程;
(2)过点
D
(1,0)的直线
l
交轨迹
C
于不同的两点
M
,
N
,△
MON
的面积是否存在最大值?若存在,求出△
MON
的面积的最大值及相应的直线方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F
1
(-3,0),一条渐近线的方程是
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求k的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若椭圆
上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围;
(3)如果直线
交椭圆
于不同的两点
,
,且
,
都在以
为圆心的圆上,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
(
)的焦距为
,且过点(
,
),右焦点为
.设
,
是
上的两个动点,线段
的中点
的横坐标为
,线段
的中垂线交椭圆
于
,
两点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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