如图,点P(0,-1)是椭圆C1:=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其
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如图,点P(0,-1)是椭圆C1:=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其
题型:不详
难度:
来源:
如图,点
P
(0,-1)是椭圆
C
1
:
=1(
a
>
b
>0)的一个顶点,
C
1
的长轴是圆
C
2
:
x
2
+
y
2
=4的直径.
l
1
,
l
2
是过点
P
且互相垂直的两条直线,其中
l
1
交圆
C
2
于
A
,
B
两点,
l
2
交椭圆
C
1
于另一点
D
.
(1)求椭圆
C
1
的方程;
(2)求△
ABD
面积取最大值时直线
l
1
的方程.
答案
(1)
+
y
2
=1(2)
y
=±
x
-1.
解析
(1)由题意得
所以椭圆
C
1
的方程为
+
y
2
=1.
(2)设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
D
(
x
0
,
y
0
).
由题意知直线
l
1
的斜率存在,不妨设其为
k
,
则直线
l
1
的方程为
y
=
kx
-1.又圆
C
2
:
x
2
+
y
2
=4,
故点
O
到直线
l
1
的距离
d
=
,所以|
AB
|=2
=2
.
又
l
2
⊥
l
1
,故直线
l
2
的方程为
x
+
ky
+
k
=0.由
消去
y
,整理得(4+
k
2
)
x
2
+8
kx
=0,
故
x
0
=-
.所以|
PD
|=
.
设△
ABD
的面积为
S
,则
S
=
|
AB
|·|
PD
|=
,
所以
S
=
≤
,
当且仅当
k
=±
时取等号.所以所求直线
l
1
的方程为
y
=±
x
-1.
举一反三
已知椭圆的焦点坐标为
F
1
(-1,0),
F
2
(1,0),过
F
2
垂直于长轴的直线交椭圆于
P
,
Q
两点,且|
PQ
|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过
F
2
的直线
l
与椭圆交于不同的两点
M
,
N
,则△
F
1
MN
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,F
1
,F
2
是椭圆C
1
:
+y
2
=1与双曲线C
2
的公共焦点,A,B分别是C
1
,C
2
在第二、四象限的公共点.若四边形AF
1
BF
2
为矩形, 则C
2
的离心率是________.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知椭圆
的离心率是
,
分别是椭圆
的左、右两个顶点,点
是椭圆
的右焦点。点
是
轴上位于
右侧的一点,且满足
.
(1)求椭圆
的方程以及点
的坐标;
(2)过点
作
轴的垂线
,再作直线
与椭圆
有且仅有一个公共点
,直线
交直线
于点
.求证:以线段
为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在
中,
,给出
满足的条件,就能得到动点
的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:
条件
方程
①
周长为10
②
面积为10
③
中,
则满足条件①、②、③的点
轨迹方程按顺序分别是
A.
、
、
B.
、
、
C.
、
、
D.
、
、
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点.
(1)若
是第一象限内该椭圆上的一点,
,求点
的坐标;
(2)设过定点
的直线
与椭圆交于不同的两点
、
,且
为锐角(其
中
为坐标原点),求直线
的斜率
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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