已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3.(1)求椭圆的方程;(2)过F2的直线l与椭圆交
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已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3.(1)求椭圆的方程;(2)过F2的直线l与椭圆交
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆的焦点坐标为
F
1
(-1,0),
F
2
(1,0),过
F
2
垂直于长轴的直线交椭圆于
P
,
Q
两点,且|
PQ
|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过
F
2
的直线
l
与椭圆交于不同的两点
M
,
N
,则△
F
1
MN
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
(2)
l
的方程为
x
=1.
解析
(1)设椭圆方程为
=1(
a
>
b
>0),
由焦点坐标可得
c
=1.由|
PQ
|=3,可得
=3.
又
a
2
-
b
2
=1,得
a
=2,
b
=
.故椭圆方程为
.
(2)设
M
(
x
1
,
y
1
),
N
(
x
2
,
y
2
),不妨令
y
1
>0,
y
2
<0,
设△
F
1
MN
的内切圆的半径
R
,
则△
F
1
MN
的周长为4
a
=8,
S
△
F
1
MN
=
(|
MN
|+|
F
1
M
|+|
F
1
N
|)
R
=4
R
,
因此要使△
F
1
MN
内切圆的面积最大,则
R
最大,此时
S
△
F
1
MN
也最大.
S
△
F
1
MN
=
|
F
1
F
2
||
y
1
-
y
2
|=
y
1
-
y
2
,
由题知,直线
l
的斜率不为零,可设直线
l
的方程为
x
=
my
+1,
由
得(3
m
2
+4)
y
2
+6
my
-9=0,
得
y
1
=
,
y
2
=
,
则
S
△
F
1
MN
=
y
1
-
y
2
=
,
令
t
=
,则
t
≥1,则
S
△
F
1
MN
=
.
令
f
(
t
)=3
t
+
,则
f
′(
t
)=3-
,当
t
≥1时,
f
′(
t
)>0,
所以
f
(
t
)在[1,+∞)上单调递增,有
f
(
t
)≥
f
(1)=4,
S
△
F
1
MN
≤
=3,
当
t
=1,
m
=0时,
S
△
F
1
MN
=3,又
S
△
F
1
MN
=4
R
,∴
R
max
=
.
这时所求内切圆面积的最大值为
π.
故△
F
1
MN
内切圆面积的最大值为
π,且此时直线
l
的方程为
x
=1.
举一反三
如图,F
1
,F
2
是椭圆C
1
:
+y
2
=1与双曲线C
2
的公共焦点,A,B分别是C
1
,C
2
在第二、四象限的公共点.若四边形AF
1
BF
2
为矩形, 则C
2
的离心率是________.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
的离心率是
,
分别是椭圆
的左、右两个顶点,点
是椭圆
的右焦点。点
是
轴上位于
右侧的一点,且满足
.
(1)求椭圆
的方程以及点
的坐标;
(2)过点
作
轴的垂线
,再作直线
与椭圆
有且仅有一个公共点
,直线
交直线
于点
.求证:以线段
为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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在
中,
,给出
满足的条件,就能得到动点
的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:
条件
方程
①
周长为10
②
面积为10
③
中,
则满足条件①、②、③的点
轨迹方程按顺序分别是
A.
、
、
B.
、
、
C.
、
、
D.
、
、
题型:不详
难度:
|
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已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点.
(1)若
是第一象限内该椭圆上的一点,
,求点
的坐标;
(2)设过定点
的直线
与椭圆交于不同的两点
、
,且
为锐角(其
中
为坐标原点),求直线
的斜率
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知圆
,直线
与圆
相切,且交椭圆
于
两点,c是椭圆的半焦距,
.
(1)求m的值;
(2)O为坐标原点,若
,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的条件下,设椭圆
的左右顶点分别为A,B,动点
,直线
与直线
分别交于M,N两点,求线段MN的长度的最小值.
题型:不详
难度:
|
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