试题分析:(1)通过椭圆性质列出 的方程,其中离心率 ,分析图形知道当点P在短轴端点时, 面积取得最大值,所以 ,椭圆中 ,从而建立关于 的方程,解出 ;即得到椭圆的标准方程;(2)对于存在性的问题,要先假设存在,先设存在这样的点 , ,结合图形知道要先讨论 ,当 时,明显切线不垂直,当 时,先设切线 ,与椭圆方程联立,利用 ,得出关于斜率 的方程,利用两根之积公式 ,解出 点坐标.即 值.此题为较难题型,分类讨论时要全面. 试题解析:(1)因为点 在椭圆上,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221847-49371.png) 因此当 时, 面积最大,且最大值为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221847-77025.png) 又离心率为 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221848-51233.png) 由于 ,解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221848-86532.png) 所求椭圆方程为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221843-70123.png) (2)假设直线 上存在点 满足题意,设 ,显然当 时,从 点所引的两条切线不垂直. 当 时,设过点 向椭圆所引的切线 的斜率为 ,则 的方程为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221846-74638.png) 由 消去 ,整理得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221850-99142.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221850-33356.png) 所以, * 设两条切线的斜率分别为 ,显然, 是方程的两根,故:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221851-44187.png) 解得: ,点 坐标为 或![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025221851-44178.png) 因此,直线 上存在两点 和 满足题意. |