试题分析:本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系等数学知识,考查分析问题解决问题的能力和计算能力,考查函数思想和分类讨论思想.第一问,设出点坐标,用代数法解题,得到向量和的坐标,利用向量的数量积得出表达式,求出最小值,即可解出的值,即确定了的值,写出椭圆的方程;第二问,由于直线与椭圆相切,所以直线与椭圆方程联立消参,得出方程的判别式等于0,得出,同理,得出,所以,因为两直线不重合,所以,若存在点,利用点到直线的距离公式得到距离之积为1的表达式,解出的值,由于的值存在,所以存在点,写出坐标即可. 试题解析:(I)设,则有,
由最小值为得, ∴椭圆的方程为 4分 (II)把的方程代入椭圆方程得 ∵直线与椭圆相切,∴,化简得 同理可得: ∴,若,则重合,不合题意, ∴,即 8分 设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,则 ,即, 把代入并去绝对值整理,或者 前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立 则,解得; 综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为或 . 12分 |