已知线段MN的两个端点M、N分别在轴、轴上滑动,且,点P在线段MN上,满足,记点P的轨迹为曲线W.(1)求曲线W的方程,并讨论W的形状与的值的关系;(2)当时,
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已知线段MN的两个端点M、N分别在轴、轴上滑动,且,点P在线段MN上,满足,记点P的轨迹为曲线W.(1)求曲线W的方程,并讨论W的形状与的值的关系;(2)当时,
题型:不详
难度:
来源:
已知线段MN的两个端点M、N分别在
轴、
轴上滑动,且
,点P在线段MN上,满足
,记点P的轨迹为曲线W.
(1)求曲线W的方程,并讨论W的形状与
的值的关系;
(2)当
时,设A、B是曲线W与
轴、
轴的正半轴的交点,过原点的直线与曲线W交于C、D两点,其中C在第一象限,求四边形ACBD面积的最大值.
答案
(1)当
时,曲线
的方程为
,表示焦点在
轴上的椭圆;当
时,曲线
的方程为
,
为以原点为圆心、半径为2的圆;当
时,曲线
的方程为
,表示焦点在
轴上的椭圆.(2)
.
解析
试题分析:(1)设出
,根据已知条件
以及
,得到一个关系式
,化简成标准形式为
,分别讨论当
,
,
时所表达的
的形状;(2)由
,则曲线
的方程是
,得出
,再设
,依据对称性得
,表示出
,根据基本不等式得到
,故四边形
面积有最大值
.
试题解析:(1)设
,则
,而由
,则
,解得
,代入得:
,化简得
.
当
时,曲线
的方程为
,表示焦点在
轴上的椭圆;
当
时,曲线
的方程为
,
为以原点为圆心、半径为2的圆;
当
时,曲线
的方程为
,表示焦点在
轴上的椭圆.
(2)由(1)当
时,曲线
的方程是
,可得
.设
,由对称性可得
.因此,四边形
的面积
,
即
,而
,即
,所以四边形
的面积
当且仅当
时,即
且
时取等号,故当C的坐标为
时,四边形
面积有最大值
.
举一反三
已知圆
的圆心为抛物线
的焦点,直线
与圆
相切,则该圆的方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的顶点在原点,焦点F与双曲线
的右焦点重合,过点
且切斜率为1的直线
与抛物线
交于
两点,则弦
的中点到抛物线准线的距离为_____________________.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知椭圆E的中心是原点O,其右焦点为F(2,0),过x轴上一点A(3,0)作直线
与椭圆E相交于P,Q两点,且
的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设
,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线,若共线请证明;反之说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
:
(
)过点
,且椭圆
的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)若动点
在直线
上,过
作直线交椭圆
于
两点,且
为线段
中点,再过
作直线
.证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
中,已知
分别是椭圆
的左、右焦点,椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设点
是椭圆
在第一象限上的任一点,连接
,过
点作斜率为
的直线
,使得
与椭圆
有且只有一个公共点,设直线
的斜率分别为
,
,试证明
为定值,并求出这个定值;
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作
,设
交
于点
,
证明:当点
在椭圆上移动时,点
在某定直线上.
题型:不详
难度:
|
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