试题分析:(1)因为离心率为 , 在椭圆上.所以利用待定系数法求出长半轴的长 和短半轴的长 .从而写出椭圆的标准方程.本小题要求解方程组能力较强.虽然本小题属于较基础的题目,但是运算也是这道题难点,否则会影响到下一题的得分. (2)通过假设 的坐标,写出直线 .并求出它们与准线方程的交点坐标.如果存在 则点 是在以线段 为直径的圆上,所以通过向量的垂直可得一个关于 的等式.又因为 符合椭圆的方程.所以可以求出结论. 试题解析:(1)由 得: , , 1分 从而有:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223625-79800.png) 又 在椭圆 上,故有 ,解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223625-57196.png) 所以,椭圆 的方程为: . 4分 (2)设 ,由(1)知: . 则直线 的方程为: ,由 得 所以 ; 同理得: . 6分 假设存在点 ,使得以 为直径的圆恒过点![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223624-93284.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223627-96679.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223627-86765.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025223627-96679.png) ,即: . 又 在椭圆 上,∴ ∴ . 10分 代入上式得 ,解得 或7. 所以,存在 或 ,使得以 为直径的圆恒过点 . 12分 |