设直线与双曲线交于A、B,且以AB为直径的圆过原点,求点的轨迹方程.

设直线与双曲线交于A、B,且以AB为直径的圆过原点,求点的轨迹方程.

题型:不详难度:来源:
设直线与双曲线交于A、B,且以AB为直径的圆过原点,求点的轨迹方程.
答案
2y2-x2=1(x2<3).
解析

试题分析:将直线与双曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x的一元二次方程。由题意知方程有两根,故二次项系数不为0,且判别式大于0,解出a的范围,即所求轨迹方程的定义域。根据韦达定理得到两根之和,两根之积(整体计算比计算出两个根要简单)。根据且以AB为直径的圆过原点,可得直线AO和直线BO垂直,可利用斜率之积等于列式计算,但这种情况需对斜率存在与否进行讨论。为了省去讨论的麻烦可用向量问题来解决。详见解析。
试题解析: 解:联立直线与双曲线方程得,消去y得:(a2-3)x2+2abx+b2+1=0.
∵直线与双曲线交于A、B两点,∴⇒a2<3.
设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2,x1·x2.
得x1x2+y1y2=0,又y1·y2=(ax1+b)(ax2+b)=a2x1x2+ab(x1+x2)+b2
∴有+a2·+b2=0.
化简得:a2-2b2=-1.故P点(a,b)的轨迹方程为2y2-x2=1(x2<3).
举一反三
已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
(2)过点(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且Q1,Q2两点的中点为(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
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已知椭圆的方程为,双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点,而的左、右顶点分别是的左、右焦点。
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点,且L与的两个焦点A和B满足(其中O为原点),求的取值范围。
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已知圆及定点,点是圆上的动点,点上,且满足点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程;
(2)若点关于直线的对称点在曲线上,求的取值范围。
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已知直线交抛物线两点,则△(     )
A.为直角三角形B.为锐角三角形
C.为钝角三角形D.前三种形状都有可能

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设椭圆 的离心率为,点,0),(0,)原点到直线的距离为

(1) 求椭圆的方程;
(2) 设点为(,0),点在椭圆上(与均不重合),点在直线上,若直线的方程为,且,试求直线的方程.
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