试题分析:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,利用离心率及解出和得到椭圆的标准方程;第二问,先设出直线的方程,因为直线与椭圆相交,消参得关于的方程,因为相交于2个交点,所以得到的取值范围,设出点坐标,则求出两根之和、两根之积及,所以,将上述的条件代入,得到的表达式,求最值;第三问,先通过对称,得到点的坐标,列出直线的方程,令,得的值正好得1,所以得证. 试题解析:(1)解:由题意知,∴,即, 又,∴, 故椭圆的方程为 . 2分 (2)解:由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为, 由得:, 4分 由得:, 设A(x1,y1),B (x2,y2),则 ① ∴, ∴ ∵,∴,∴, ∴的取值范围是. (3)∵两点关于轴对称,∴, 直线的方程为,令得: 又,,∴, 由将①代入得:,∴直线与轴交于定点. |