已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,长轴长为,直线交椭圆于不同的两点.(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围;(3)若直线不经过椭圆上的点,求证:直线的

已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,长轴长为,直线交椭圆于不同的两点.(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围;(3)若直线不经过椭圆上的点,求证:直线的

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,长轴长为,直线交椭圆于不同的两点
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若直线不经过椭圆上的点,求证:直线的斜率互为相反数.
答案
(1);(2);(3)证明过程详见解析.
解析

试题分析:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、韦达定理等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,由长轴长得出的值,再由离心率得出的值,再计算出的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,由于直线与椭圆相交,所以列出方程组,经过消参,得到关于的方程,因为直线与椭圆有2个交点,所以方程有2个实根,所以方程的判别式大于0,解出的取值范围;第三问,将结论转化为证明,写出点坐标,利用第二问的关于的方程,用韦达定理写出两根之和、两根之积,先用两点的斜率公式列出的斜率,再通分,将上述两根之和两根之积代入化简直到等于0为止.
试题解析:(Ⅰ)由题意知,,又因为,解得
故椭圆方程为.                        4分
(Ⅱ)将代入并整理得
,解得.      7分
(Ⅲ)设直线的斜率分别为,只要证明.

.    9分

分子


所以直线的斜率互为相反数.     14分
举一反三
已知椭圆中心在原点,焦点在轴上,焦距为2,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线经过点(0,1),且与椭圆交于两点,若,求直线的方程.
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已知椭圆的焦点为,且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过的直线与椭圆交于两点,问在椭圆上是否存在一点,使四边形为平行四边形,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.
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已知两定点,如果动点满足,则点的轨迹所包围的图形的面积等于(  )
A.B.C.D.

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抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,垂足为,则的面积是    
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如图,抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),,均在抛物线上.

(1)求该抛物线方程;
(2)若AB的中点坐标为,求直线AB方程.
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