在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆的圆心.⑴求椭圆E的方程;⑵设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线,当直线都与圆相切时,求

在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆的圆心.⑴求椭圆E的方程;⑵设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线,当直线都与圆相切时,求

题型:不详难度:来源:
在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆的圆心.
⑴求椭圆E的方程;
⑵设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线,当直线都与圆相切时,求P点坐标.
答案
(1);(2)
解析

试题分析:(1)圆心坐标是已知的,故椭圆的焦点是已知的,从而半焦距已知了,又有离心率,故半长轴长也能求出,从而求出,而根据题意,椭圆方程是标准方程,可其方程易得;(2)设P点坐标为,再设一条切线的斜率为,则另一条切线的斜率为,三个未知数需要三个方程,点P在椭圆上,一个等式,两条直线都圆的切线,利用圆心到切线的距离等于圆的半径又得到两个等式,三个等量关系,三个未知数理论上可解了,当然具体解题时,可设切线斜率为,则点斜率式写出直线方程,利用圆心到切线距离等于圆半径得出关于的方程,而是这个方程的两解,由韦达定理得,这个结果又是,就列出了关于P点坐标的一个方程,再由P点在椭圆上,可解出P点坐标.
试题解析:(1)圆的标准方程为,圆心为,所以,又,而据题意椭圆的方程是标准方程,故其方程为.4分
(2)设,得
,依题意的距离为
整理得同理

是方程的两实根10分
12分
14分
16分
举一反三
已知动点到点的距离等于它到直线的距离,则点的轨迹方程是      .
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已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若抛物线与直线交于两点,求证:.
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已知抛物线与椭圆有公共焦点,且椭圆过点.
(1)求椭圆方程;
(2)点是椭圆的上下顶点,点为右顶点,记过点的圆为⊙,过点作⊙ 的切线,求直线的方程;
(3)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点,试问直线是否经过定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
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已知圆,若焦点在轴上的椭圆 过点,且其长轴长等于圆的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线与圆交于两点,交椭圆于另一点,设直线的斜率为,求弦长;
(3)求面积的最大值.
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已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
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