已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若存在直线,使得直线与椭圆分别交于两点,与圆分别交于两点,点在线段上,且,求圆的半径的取值
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已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若存在直线,使得直线与椭圆分别交于两点,与圆分别交于两点,点在线段上,且,求圆的半径的取值
题型:不详
难度:
来源:
已知圆
,若椭圆
的右顶点为圆
的圆心,离心率为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若存在直线
,使得直线
与椭圆
分别交于
两点,与圆
分别交于
两点,点
在线段
上,且
,求圆
的半径
的取值范围.
答案
(1)
;(2)
.
解析
试题分析:(1)圆的圆心已知,可求出椭圆方程中的
,又椭圆离心率知道根据
可得
,故可求出椭圆方程;(2)设出
两点坐标,联立椭圆方程,用弦长公式将
表示成
的函数,再将
表示成
的函数,根据
和基本不等式求解.
试题解析:(1)设椭圆的焦距为2c,因为
所以椭圆的方程为
。
(2)设
,
联立方程得
所以
则
又点
到直线
的距离
,则
显然,若点
也在线段
上,则由对称性可知,直线
就是y轴,与已知矛盾,所以要使
,只要
,所以
当
时,
.
当
时,
3,
又显然
,所以
。
综上,圆
的半径
的取值范围是
.
举一反三
已知椭圆
的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)已知动直线
与椭圆
相交于
、
两点. ①若线段
中点的横坐标为
,求斜率
的值;②若点
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两点,点
是坐标原点,若
,则△
的面积为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)过点
的直线
与椭圆
相交于
,
两点.点
,记直线
的斜率分别为
,当
最大时,求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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曲线
在矩阵
的变换作用下得到曲线
.
(Ⅰ)求矩阵
;
(Ⅱ)求矩阵
的特征值及对应的一个特征向量.
题型:不详
难度:
|
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矩形
的中心在坐标原点,边
与
轴平行,
=8,
=6.
分别是矩形四条边的中点,
是线段
的四等分点,
是线段
的四等分点.设直线
与
,
与
,
与
的交点依次为
.
(1)以
为长轴,以
为短轴的椭圆Q的方程;
(2)根据条件可判定点
都在(1)中的椭圆Q上,请以点L为例,给出证明(即证明点L在椭圆Q上).
(3)设线段
的
(
等分点从左向右依次为
,线段
的
等分点从上向下依次为
,那么直线
与哪条直线的交点一定在椭圆Q上?(写出结果即可,此问不要求证明)
题型:不详
难度:
|
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