动点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数,记点的轨迹为曲线.（I）求曲线的方程；（II）设直线与曲线交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．

题型：不详难度：来源：

动点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数,记点的轨迹为曲线.
（I）求曲线的方程；
（II）设直线与曲线交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．

答案

（I）；（II）．

解析

试题分析：（I）找出题中的相等关系，列出化简即得曲线的方程；（II）先用弦长公式得，由点到直线距离公式得的高，列出面积表达式，最后选择合适的方法求面积的最大值．
试题解析：（I）设是点到直线的距离,根据题意,点的轨迹就是集合
  
由此得       
将上式两边平方,并化简得
即
所以曲线的方程为  
（II）由得，
即.
记，
则.  
于是
   
又原点到直线的距离， 
所以（当时取等号）
所以面积的最大值为．