试题分析:(Ⅰ)利用离心率公式,得到,利用直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,得到,得到,从而得到椭圆C的方程.(Ⅱ)通过假设的方程为(),与椭圆方程联立,应用韦达定理确定交点坐标关系,利用“向量法”得到. 将表示成应用导数或均值定理确定的范围. 试题解析:(Ⅰ), 2分 ∵直线:y=x+2与圆x2+y2=b2相切, ∴,解得,则a2="4." 4分 故所求椭圆C的方程为. 5分 (Ⅱ)在轴上存在点,使得是以GH为底边的等腰三角形. 6分 理由如下: 设的方程为(), 由 因为直线与椭圆C有两个交点,所以 所以,又因为,所以. 设,,则. 7分 . = . 由于等腰三角形中线与底边互相垂直,则. 8分 所以. 故. 即 因为,所以.所以.
设,当时,, 所以函数在上单调递增,所以 , 10分 所以 11分 (若学生用基本不等式求解无证明扣1分) 又因为,所以. 所以,. 故存在满足题意的点(m,0)且实数的取值范围为:. 12分 |