已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.(I)求椭圆的方程;(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.

已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.(I)求椭圆的方程;(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.
答案
(1)(2)
解析

试题分析:解:(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.
由直线与圆相切,得,
所以(舍去).
时,,
故椭圆的方程为.  5分
(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为,
则直线的方程为.
因为点在椭圆中
所以对任意,直线都与椭圆C交于不同的两点

设点P,Q的坐标分别为,则


又因为点A到直线的距离
所以的面积为   10分
,则

因为,
所以当时,的面积达到最大,
此时,即.
故当的面积达到最大时,直线的方程为. 12分
点评:本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的综合运用,属于中档题。
举一反三
若直线过双曲线的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若过点轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点的垂直平分线为,求直线轴上截距的取值范围.
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已知双曲线的渐近线与圆有公共点,则该双曲线的离心率的取值范围是___________.
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已知椭圆的离心率等于,点在椭圆上.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左右顶点分别为,,过点的动直线与椭圆相交于,两点,是否存在定直线,使得的交点总在直线上?若存在,求出一个满足条件的值;若不存在,说明理由。
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极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以正半轴为极轴,已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程是为参数,,射线与曲线交于极点外的三点
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)当时,两点在曲线上,求的值.
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已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为
A.B.
C.D.

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