已知M (-3,0)﹑N (3,0),P为坐标平面上的动点,且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m (m,m0),点P的轨迹加上M、N两点构成曲线C.求曲线C的

已知M (-3,0)﹑N (3,0),P为坐标平面上的动点,且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m (m,m0),点P的轨迹加上M、N两点构成曲线C.求曲线C的

题型:不详难度:来源:
已知M (-3,0)﹑N (3,0),P为坐标平面上的动点,且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m (mm0),点P的轨迹加上MN两点构成曲线C.
求曲线C的方程并讨论曲线C的形状;
(2) 若,曲线C过点Q (2,0) 斜率为的直线与曲线C交于不同的两点ABAB中点为R,直线OR (O为坐标原点)的斜率为,求证 为定值;
(3) 在(2)的条件下,设,且,求y轴上的截距的变化范围.
答案
(1)
m=-1,则方程为,轨迹为圆;
,方程为,轨迹为椭圆;
,方程为,轨迹为双曲线
(2)
(3)
解析

试题分析:解:(1)由得点P的轨迹方程为:.
m=-1,则方程为,轨迹为圆;
,方程为,轨迹为椭圆;
,方程为,轨迹为双曲线。          4分
(2)时,曲线C方程为
的方程为:,与曲线C方程联立得:
,则①,②,
可得,  ∴为定值。        7分
注:①可用点差法证明;②直接用得出结果的,本小题只给1分.
(3)由代入①②得:③,④,
③式平方除以④式得:
上单调递增,∴,∴,可得 
又∵y轴上的截距,∴=
,此即为y轴上的截距的变化范围。    10分
点评:解决的关键是根据直线与椭圆联立方程组来结合韦达定理来求解,属于中档题。
举一反三
如图,是平面的斜线段,为斜足。若点在平面内运动,使得的面积为定值,则动点的轨迹是(   )
A.圆B.椭圆
C.一条直线D.两条平行直线

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已知椭圆,则以点为中点的弦所在直线方程为__________________。
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已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+ 相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆在轴上方的一个交点为是椭圆的右焦点,试探究以
直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
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过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P,若,且则双曲线的离心率为(   )
A.B.C.D.

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在椭圆上找一点,使这一点到直线的距离为最小,并求最小值。
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