（1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程； 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆

题型：不详难度：来源：

（1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
（2）如图，已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；
 
（3）由抛物线弧：（）与第（1）小题椭圆弧：（）所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点，，且（），试用表示；并求的取值范围.

答案

（1） 
（2）利用；
（3）的取值范围是.

解析

试题分析：（1）由的周长为得，
椭圆与双曲线：有相同的焦点，所以，
即，，椭圆的方程； 4分
（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，. 5分
当时，，，
即； 7分
当时，，，
即； 9分
所以为定值； 10分
（3）显然“盾圆”由两部分合成，所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类，由“盾圆”的对称性，不妨设在轴上方（或轴上）：
当时，，此时，； 11分
当时，在椭圆弧上，
由题设知代入得，
，
整理得，
解得或（舍去）. …12分
当时在抛物线弧上，
由方程或定义均可得到，于是，
综上，（）或（）；
相应地，， 14分
当时在抛物线弧上，在椭圆弧上，
； 15分
当时在椭圆弧上，在抛物线弧上，
； 16分
当时、在椭圆弧上，
； 17分
综上的取值范围是. 18分
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的定义及椭圆、双曲线的几何性质。（2）通过研究圆与圆的位置关系，证明了“定值”。（3）通过将点的坐标代入椭圆方程确定得到，利用三角函数性质，进一步确定得到步骤的范围。