己知椭圆的离心率为，是椭圆的左右顶点，是椭圆的上下顶点，四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）圆过两点．当圆心与原点的距离最小时，求圆的方程．

题型：不详难度：来源：

己知椭圆的离心率为，是椭圆的左右顶点，是椭圆的上下顶点，四边形的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆过两点．当圆心与原点的距离最小时，求圆的方程．

答案

(1)  (2)

解析

试题分析：解：（1）依题意有： ①            2分
四边形是以椭圆的四顶点为顶点的菱形
可得：即　②               4分
由①、②解得：所以椭圆的方程为：        6分
（2）依题意得
可得的垂直平分线的方程为： ③       8分
圆心在上，当圆心与原点的距离最小时，
可得的方程为　④                         10分
联立③、④得，即         12分
由此可得  ,
所以圆的方程为：    14分
点评：解决的关键是利用椭圆的几何性质来得到其方程，同时能借助于直线与圆的关系来得到圆的方程，属于基础题。