如图,已知直线l:x=my+1过椭圆的右焦点F,抛物线:的焦点为椭圆C的上顶点,且直线l交椭圆C于A、B两点,点A、F、B在直线g:x=4上的射影依次为点D、K
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如图,已知直线l:x=my+1过椭圆的右焦点F,抛物线:的焦点为椭圆C的上顶点,且直线l交椭圆C于A、B两点,点A、F、B在直线g:x=4上的射影依次为点D、K
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知直线l:x=my+1过椭圆
的右焦点F,抛物线:
的焦点为椭圆C的上顶点,且直线l交椭圆C于A、B两点,点A、F、B在直线g:x=4上的射影依次为点D、K、E.(1)椭圆C的方程;(2)直线l交y轴于点M,且
,当m变化时,探求λ
1
+λ
2
的值是否为定值?若是,求出λ
1
+λ
2
的值,否则,说明理由;(3)接AE、BD,试证明当m变化时,直线AE与BD相交于定点
.
答案
(1)
(2) 当m变化时,λ
1
+λ
2
的值为定值
;
(3)当m变化时,AE与BD相交于定点
解析
试题分析:(1)知椭圆右焦点F(1,0),∴c=1,
抛物线
的焦点坐标
,∴
∴b
2
=3
∴a
2
=b
2
+c
2
=4∴椭圆C的方程
4分
(2)知m≠0,且l与y轴交于
,
设直线l交椭圆于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
由
- 5分
∴△=(6m)
2
+36(3m
2
+4)=144(m
2
+1)>0
∴
6分
又由
∴
同理
- 7分
∴
∵
∴
所以,当m变化时,λ
1
+λ
2
的值为定值
; 9分
(3):由(2)A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),∴D(4,y
1
),E(4,y
2
)
方法1)∵
10分
当
时,
=
=
12分
∴点
在直线l
AE
上, 13分
同理可证,点
也在直线l
BD
上;
∴当m变化时,AE与BD相交于定点
14分
方法2)∵
10分
- 11分
=
12分
∴k
EN
=k
AN
∴A、N、E三点共线,
同理可得B、N、D也三点共线; 13分
∴当m变化时,AE与BD相交于定点
. 14分
点评:解决的关键是对于椭圆的几何性质的表示,以及联立方程组的思想结合韦达定理来求解,属于基础题。
举一反三
已知双曲线
的左右焦点为
,P为双曲线右支上
的任意一点,若
的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围是
。
题型:不详
难度:
|
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设点P是曲线C:
上的动点,点P到点(0,1)的距离和它到
焦点F的距离之和的最小值为
(1)求曲线C的方程
(2)若点P的横坐标为1,过P作斜率为
的直线交C与另一点Q,交x轴于点M,
过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN与曲线C
相切?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的焦点为
,点
在此抛物线上,且
,弦
的中点
在该抛物线准线上的射影为
,则
的最大值为( )
A.
B.
C.1
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的长轴长是短轴长的两倍,焦距为
.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)设不过原点
的直线
与椭圆
交于两点
、
,且直线
、
、
的斜率依次成等比数列,求△
面积的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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与抛物线
相切倾斜角为
的直线L与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A、B两点的最小圆截抛物线
的准线所得的弦长为
A.4 B.2
C.2 D.
题型:不详
难度:
|
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