(本小题满分14分)如图,设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且最小值为.(1)求椭圆的方程;(2)若动直线均与椭圆相切,且,试探究在轴上是否存在定
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(本小题满分14分)如图,设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且最小值为.(1)求椭圆的方程;(2)若动直线均与椭圆相切,且,试探究在轴上是否存在定
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)
如图,设点
、
分别是椭圆
的左、右焦点,
为椭圆
上任意一点,且
最小值为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若动直线
均与椭圆
相切,且
,试探究在
轴上是否存在定点
,点
到
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
(2)存在定点
为
或
满足要求
解析
试题分析:(1)设
,则有
,
……1分
……2分
由
最小值为
得
, ……3分
∴椭圆
的方程为
. ……4分
(2)①当直线
斜率存在时,设其方程为
……5分
把
的方程代入椭圆方程得
∵直线
与椭圆
相切,∴
,
化简得
……7分
同理,
……8分
∴
,若
,则
重合,不合题意,∴
……9分
设在
轴上存在点
,点
到直线
的距离之积为1,
则
,即
, ……10分
把
代入并去绝对值整理,
或者
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的
恒成立
则
,解得
; ……12分
②当直线
斜率不存在时,其方程为
和
, ……13分
定点
到直线
的距离之积为
;
定点
到直线
的距离之积为
;
综上所述,满足题意的定点
为
或
……14分
点评:每年高考都会考查圆锥曲线问题,此类题目一般运算量较大,主要考查学生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.
举一反三
已知
为双曲线
的左准线与x轴的交点,点
,若满足
的点
在双曲线上,则该双曲线的离心率为
.
题型:不详
难度:
|
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已知对称中心为原点的双曲线
与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准方程为___________________。
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系
中,点
为椭圆
的右顶点, 点
,点
在椭圆上,
.
(1)求直线
的方程;
(2)求直线
被过
三点的圆
截得的弦长;
题型:不详
难度:
|
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斜率为
的直线与双曲线
(a>0,b>0)恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分13分)已知椭圆
:
(
)过点
,其左、右焦点分别为
,且
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)若
是直线
上的两个动点,且
,则以
为直径的圆
是否过定点?请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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