(本小题满分12分)已知椭圆:()的离心率为,过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点,为弦的中点。(1)求直线(为坐标原点)的斜率;(2)设椭圆上任意一点,且,求

(本小题满分12分)已知椭圆:()的离心率为,过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点,为弦的中点。(1)求直线(为坐标原点)的斜率;(2)设椭圆上任意一点,且,求

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)已知椭圆)的离心率为,过右焦点且斜率为1的直线交椭圆两点,为弦的中点。
(1)求直线为坐标原点)的斜率
(2)设椭圆上任意一点,且,求的最大值和最小值.
答案
(1), (2) 
解析

试题分析:(1)设椭圆的焦距为2c,因为,所以有,故有。从而椭圆C的方程可化为:     ①   …………2分
易知右焦点F的坐标为(),
据题意有AB所在的直线方程为:  ②      …………4分
由①,②有:        ③
,弦AB的中点,由③及韦达定理有:
 
所以,即为所求。     …………6分
(2)设,由1)中各点的坐标有:
,所以
又点在椭圆C上,所以有整理为。  ④………8分
由③有:
  ⑤
又A﹑B在椭圆上,故有     ⑥
将⑤,⑥代入④可得:。      …………10分
,故有
所以     …………12分
点评:圆锥曲线的问题一般来说计算量大,对运算能力要求很高,寻求简洁、合理的运算途径很重要,在解答时注意以下的转化:⑴若直线与圆锥曲线有两个交点,对待交点坐标是“设而不求”的原则,要注意应用韦达定理处理这类问题 ; ⑵与弦的重点有关问题求解常用方法一韦达定理法 二 点差法;⑶平面向量与解析几何综合题,遵循的是平面向量坐标化,应用的是平面向量坐标运算法则还有两向量平行、垂直来解决问题,这就要求同学们在基本概念、基本方法、基本能力上下功夫.
举一反三
已知双曲线过点(4,),渐近线方程为y=±x,圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上,则圆心到该双曲线的中心的距离是          .
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(本小题满分12分)
已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2:的右焦点F2重合,F1是椭圆的左焦点;
(Ⅰ)在ABC中,若A(-4,0),B(0,-3),点C在抛物线y2=4x上运动,求ABC重心G的轨迹方程;
(Ⅱ)若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点,且∠PF1F2=,∠PF2F1=,求cos的值及PF1F2的面积。
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已知是椭圆的两个焦点,经过点的直线交椭圆于点,若,则等于(    )
A.B.C.D.

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(本题满分12分)
已知直线与曲线交于不同的两点为坐标原点.
(1)若,求证:曲线是一个圆;
(2)若,当时,求曲线的离心率的取值范围.
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已知抛物线的焦点为F,过抛物线在第一象限部分上一点P的切线为,过P点作平行于轴的直线,过焦点F作平行于的直线交于M,若,则点P的坐标为         
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