（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为。⑴求椭圆的方程；⑵已知定点，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为。⑴求椭圆的方程；⑵已知定点，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由。

答案

（1）椭圆的方程为；（2）存在使得以CD为直径的圆过点E。

解析

试题分析：（1）直线方程为
依题意可得： 解得：
∴椭圆的方程为
（2）假设存在这样的值。
由 得
∴
设
而
要使以为直径的圆过点，当且仅当时
则
即

将（2）代入（3）整理得
经验证使得（1）成立
综上可知，存在使得以CD为直径的圆过点E。
点评：圆锥曲线的问题一般来说计算量大，对运算能力要求很高，寻求简洁、合理的运算途径很重要，在解答时注意以下的转化：⑴若直线与圆锥曲线有两个交点，对待交点坐标是“设而不求”的原则，要注意应用韦达定理处理这类问题 ； ⑵与弦的重点有关问题求解常用方法一韦达定理法 二 点差法；