试题分析:解:(Ⅰ)∵PF1⊥x轴, ∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0), |PF2|=,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3, 椭圆E的方程为:;…………………4分 (Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由 得 (x1+1,y1-)+(x2+1,y2-)=(1,- ), 所以x1+x2=-2,y1+y2=(2-)………① 又,, 两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0………..② 以①式代入可得AB的斜率k=为定值; ……………9分 (Ⅲ)设直线AB的方程为y=x+t, 与联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0, △=3(4-t2), AB|=, 点P到直线AB的距离为d=, △PAB的面积为S=|AB|×d=, ………10分 设f(t)=S2=(t4-4t3+16t-16) (-2<t<2), f’(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由f’(t)=0及-2<t<2得t=-1. 当t∈(-2,-1)时,f’(t)>0,当t∈(-1,2)时,f’(t)<0,f(t)=-1时取得最大值, 所以S的最大值为.此时x1+x2=-t=1=-2,=3. ………………15分 点评:解析几何中的圆锥曲线的求解,一般运用待定系数法来求解,同时运用设而不求的思想来研究直线与椭圆的位置关系,属于中档题。 |