(本小题满分14分)如图,已知直线OP1,OP2为双曲线E:的渐近线,△P1OP2的面积为,在双曲线E上存在点P为线段P1P2的一个三等分点,且双曲线E的离心率
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(本小题满分14分)如图,已知直线OP1,OP2为双曲线E:的渐近线,△P1OP2的面积为,在双曲线E上存在点P为线段P1P2的一个三等分点,且双曲线E的离心率
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)如图,已知直线
OP
1
,
OP
2
为双曲线
E
:
的渐近线,△
P
1
OP
2
的面积为
,在双曲线
E
上存在点
P
为线段
P
1
P
2
的一个三等分点,且双曲线
E
的离心率为
.
(1)若
P
1
、
P
2
点的横坐标分别为
x
1
、
x
2
,则
x
1
、
x
2
之间满足怎样的关系?并证明你的结论;
(2)求双曲线
E
的方程;
(3)设双曲线
E
上的动点
,两焦点
,若
为钝角,求
点横坐标
的取值范围.
答案
(1)∴
x
1
·
x
2
=
;(2)
-
=1;(3)-
,-2)∪(2,
)
解析
试题分析:(1)设双曲线方程为
-
=1,由已知得
=
∴
=
∴渐近线方程为
y
=±
x
…………2分
则
P
1
(
x
1
,
x
1
)
P
2
(
x
2
,-
x
2
)
设渐近线
y
=
x
的倾斜角为
θ
,则tan
θ
=
∴sin2
θ
=
=
∴
=
|
OP
1
||
OP
2
|sin2
θ
=
·
∴
x
1
·
x
2
=
…………5分
(2)不妨设
P
分
所成的比为
λ
=2,
P
(
x
,
y
), 则
x
=
y
=
=
∴
x
1
+2
x
2
=3
x
x
1
-2
x
2
=2
y
…………7分
∴(3
x
)
2
-(2
y
)
2
=8
x
1
x
2
=36
∴
-
=1 即为双曲线
E
的方程 …………9分
(3)由(2)知
C
=
,∴F
1
(-
,0) F
2
(
,0) 设
M
(
x
0
,
y
0
)
则
y
=
x
-9,
=(-
-x
0
,-y
0
)
=(
-
x
0
,-
y
0
)
∴
·
=
x
-13+
y
=
x
-22 …………12分
若∠
F
1
MF
2
为钝角,则
x
-22<0
∴|
x
0
|<
又|
x
0
|>2
∴
x
0
的范围为(-
,-2)∪(2,
) ……14分
点评:本题主要考查双曲线的标准方程和性质、数量积的应用等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法
举一反三
如图,F
1
,F
2
是双曲线
的左、右焦点,过F
1
的直线
l
与C的左、右两支分别交于A,B两点.若|AB|:|BF
2
|:|AF
2
|=3:4:5,则双曲线的离心率为
A.
B.
C.2
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)已知椭圆C
1
:
的离心率为
,直线
l
: y-=x+2与.以原点为圆心、椭圆C
1
的短半轴长为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(ll)设椭圆C
1
的左焦点为F
1
,右焦点为F
2
,直线
l
2
过点F价且垂直于椭圆的长轴,动直线
l
2
垂直于
l
1
,垂足为点P,线段PF
2
的垂直平分线交
l
2
于点M,求点M的轨迹C
2
的方程;
(III)过椭圆C
1
的左顶点A作直线m,与圆O相交于两点R,S,若△ORS是钝角三角形, 求直线m的斜率k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设直线l是抛物线的准线,求证:以AB为直径的圆与准线l相切.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)
已知椭圆
的离心率为
,椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线
与椭圆C交于A、B两点,点P(0,1),且|PA|=|PB|,求直线
的方程。
题型:不详
难度:
|
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设F1和F2为双曲线
的两个焦点,点在双曲线上且满足
,则
的面积是( )。
A.1
B.
C.2
D.
题型:不详
难度:
|
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